Floor it

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Description

令 x = (sqrt(5) + 1) / 2，求 floor(x^n) % p。

Input

一行两个整数 n, p。

Output

一行表示答案。

Sample Input

5 97

Sample Output

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HINT

n <= 1e18, p <= 998244353。

Solution

首先这必然是一道数学题。我们令 x = (1 + sqrt(5)) / 2, y = (1 - sqrt(5)) / 2 。

那么我们发现， x 和 y 分别是 x^2 - x - 1 = 0 的两个实数根。那么有 x^2 = x + 1。

我们这样操作：

x^2 = x + 1
　　　　x^2 * x^(n-2) = x * x^(n-2) + x^(n-2)
　　　　x^n = x^(n-1) + x^(n-2)

令 An 表示 x^n，Bn 表示 y^n。那么显然有 An = An-1 + An-2，Bn = Bn-1 + Bn-2。

这时候 (An + Bn) = (An-1 + Bn-2) + (An-2 + Bn-2)。

我们代入n = 1，(An + Bn) = 1；n = 2，(An + Bn) = 3。所以我们可以用矩阵乘法求出 An + Bn。

因为答案要求An，那么这时候我们只要消掉 Bn 即可。显然 y ≈ -0.618，那么 y^n 取值范围在 (-1, 0)∪(0, 1)。

显然当 n 为偶数时， floor(x^n) = floor(x^n + y^n) - 1；n 为奇数时，floor(x^n) = floor(x^n + y^n)。

这样我们就得到了答案QWQ。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long s64;

const int ONE = 20005;
const int INF = 70000;

int n = 2;
s64 N, MOD;

int get()
{
    int res=1,Q=1;char c;
    while( (c=getchar())<48 || c>57 )
        if(c=='-')Q=-1;
    res=c-48;
    while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )
        res=res*10+c-48;
    return res*Q;
}

struct power
{
    int val[3][3];
    friend power operator *(power a, power b)
    {
        power c;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                c.val[i][j] = 0;
                for(int k = 1; k <= n; k++)
                    c.val[i][j] = (c.val[i][j] + (s64)a.val[i][k] * b.val[k][j] % MOD) % MOD;
            }
        return c;
    }
}Base, A;

int main()
{
    cin>>N>>MOD;
    if(N == 0) {printf("1"); return 0;}

    int PD = - (N % 2 == 0);

    Base.val[1][1] = 0, Base.val[1][2] = 1;
    Base.val[2][1] = 1, Base.val[2][2] = 1;

    A.val[1][1] = 1, A.val[1][2] = 3;

    N -= 2;
    while(N > 0)
    {
        if(N & 1) A = A * Base;
        Base = Base * Base;
        N >>= 1;
    }

    printf("%d", A.val[1][2] + PD);
}